Provably Good Prim-Dijkstra Revisited: New Theory and a Practical Algorithm for a Classical VLSI Routing Problem with LLMs

VLSI物理设计中的路由问题一直是芯片布局的核心难题。早期算法如Prim和Dijkstra提供了基础的贪心策略，但在成本与路径半径的权衡上存在根本性矛盾。1992年，Cong等提出有界半径路由树，开启了理论与实践的结合，但复杂性未明。近年来，深度学习和大语言模型的兴起，为算法验证和创新提供了新工具。尽管如此，终端曼哈顿距离的复杂性问题一直未被正式解决，成为学界的悬而未决之题。

核心问题是：在给定终端集和源点的情况下，构造一棵满足总边长和最大距离限制的树。该问题在VLSI布局中关系到信号传输延迟和布线长度的平衡，具有极高的实际价值。然而，早期研究多局限于启发式和经验方法，缺乏严格的复杂性分析与最优保证。特别是，终端曼哈顿距离的路由问题的复杂性一直悬而未决，阻碍了理论的深入发展。

本研究的创新点包括：1) 首次用整数规约证明终端曼哈顿成本-半径问题为弱NP完全，明确其复杂性边界；2) 提出基于高度划分的多模求解器HP-RCRST，结合连续参数H，获得(2,2)平衡保证，兼顾成本与半径；3) 利用多目标Pareto优化策略，在28个实例中显著优于现有方法，验证了算法的实用性和优越性；4) 引入大语言模型辅助验证，开启了AI与算法设计结合的新路径。

• �� 定义问题模型：终端集、源点、曼哈顿距离、路径长度与半径目标。
• �� 构造整数规约：从Partition问题出发，建立等价的路径构造，证明弱NP完全性。
• �� 高度划分算法：以根节点为起点，逐层划分子树，利用参数H控制半径与成本。
• �� 多目标Pareto优化：在不同H值下生成多组解，筛选出性能最优的前沿。
• �� 实现HP-RCRST：结合启发式剪枝、多模搜索策略，优化求解过程。
• �� 理论验证：证明算法在所有实例中满足平衡保证，分析复杂性与极限。

采用28个VLSI路由实例，涵盖不同规模和复杂度。基线方法包括经典Prim-Dijkstra、LAST等。指标为总边长、最大路径半径、Pareto前沿覆盖率。调优参数包括H值和多模策略。通过对比实验，验证HP-RCRST在多目标指标上的优越性，特别是在复杂实例中表现出明显优势。还进行了消融实验，分析不同模块对性能的贡献。

在28个实例中，HP-RCRST的强模态在23例中Pareto优越，5例持平，整体性能优于现有公开方法。平均成本降低15%，最大路径半径缩短20%。多目标Pareto前沿覆盖率达95%以上，验证了算法在多指标平衡上的有效性。理论上，平衡参数H实现了成本与半径的双重控制，确保在复杂实例中仍能保持优异性能。

该算法适用于芯片布局、网络设计、信号路由等场景，尤其在需要同时优化路径长度和信号延迟的高复杂度环境中。只需提供终端位置和源点信息，即可快速获得平衡的路径树，提升设计效率与性能。未来可结合硬件加速，应用于大规模芯片制造流程。

当前算法在极端高维或极端偏向单一指标的实例中仍存在性能瓶颈。理论证明依赖弱NP规约，尚未扩展到强NP完全性。实际应用中，复杂实例的求解时间仍较长，需进一步优化算法结构和搜索策略。未来需解决多目标优化的全局前沿探索问题，提升算法的普适性和效率。