Modeling Spatially Correlated Failure-time Data Under Two Distance Functions with an Application to Titan GPU Data

空间相关生存分析长期依赖“邻近更相似”的假设，因此常用基于距离的随机效应或frailty模型。代表性工作包括Henderson et al. (2002)的Cox空间frailty、Zhang and Lawson (2011)的AFT+CAR、Zhou and Hanson (2018)的任意删失空间生存框架等。但这些方法大多只考虑一种空间结构。Titan这类HPC系统同时具有物理摆放和逻辑连线两套组织方式，相关性来源更复杂，因此需要双距离建模。

核心问题是：如何在删失失效时间数据中同时刻画“机柜物理距离”与“网络逻辑距离”带来的相关性，并保证协方差矩阵可用、可估、可解释。难点在于逻辑拓扑不是普通欧氏空间，折叠环面上的距离会影响正定性；同时，模型还必须适配Titan的超大规模、分层布局和生存删失机制。

创新点主要有三层。第一，提出y=Xβ+Z_vv+Z_ww+ϵ的双空间AFT混合效应框架，把两类相关来源拆开。第二，物理部分用二维powered exponential，逻辑部分在环面上定义圆距，并把相关函数写成可分离形式。第三，证明逻辑相关矩阵Rw=B⊗A正定，其中0<κ_w≤1，为工程上可直接实现的贝叶斯建模提供理论保障。

• �� 数据层：n个失效/删失时间ti，δi表示是否失效；协变量x_i含截距与p个固定效应。
• �� 线性层：log(\tilde t)=Xβ+Z_vv+Z_ww+ϵ，用AFT解释寿命而非风险率。
• �� 物理随机效应：v~N(0,Σ_v)，距离用d_r=|r_s-r_t|、d_c=|c_s-c_t|，相关ρ_P=exp[-b_P(ν_v,κ_v)]，其中0<κ_v≤2。
• �� 逻辑随机效应：w~N(0,Σ_w)，在8×25机柜的折叠环面上用d^L_r=min(|r*_s-r*_t|,n_r-|r*_s-r*_t|)与d^L_c类似定义距离。
• �� 协方差：Σ=Z_vΣ_vZ_v^T+Z_wΣ_wZ_w^T+Σ_ϵ，利用独立性简化计算。
• �� 先验与推断：采用Bayesian scheme，借助Stan生成MCMC样本估计β、方差和相关参数。
• �� 理论：将Rw写成B⊗A，借助Kronecker乘积的特征值性质证明正定性。

实验包含两部分。其一是仿真研究，用来检验在已知真值下的参数恢复与推断准确性，重点考察双随机效应AFT模型是否能稳定识别空间相关。其二是Titan GPU真实数据分析：系统规模超过30,000个GPU，布置在8行×25列机柜中，共200个空间位置，运行记录跨7年；固定效应包括cage、slot、node三层结构，其中cage 3、slot 8、node 4为基线类别。论文使用Stan进行MCMC采样。

理论结果最强：逻辑拓扑上的powered exponential相关函数在0<κ_w≤1时保持正定，并可分解为B⊗A，这使模型不只是经验拟合，而是有严格数学支撑。仿真显示该框架能准确做统计推断，说明加入第二种空间随机效应后，模型仍可稳定工作。Titan应用则表明该方法能处理30,000+ GPU、200位置、7年期的大规模删失寿命数据，适合真实HPC可靠性分析。

直接应用场景包括超级计算机GPU可靠性评估、数据中心热失效诊断、以及任何“物理位置”和“逻辑网络”同时重要的系统，例如电信机柜、工业传感阵列、边缘计算节点。前提是能给出对象的空间布局、拓扑连接和失效/删失时间。输出可支持维护排程、冷却设计和任务调度优化。

局限主要在于：一是物理与逻辑随机效应被设为独立，若真实系统中散热、负载与网络路径互相耦合，模型可能低估交互。二是逻辑距离依赖特定拓扑排序，若系统重构或拓扑变化频繁，重编码成本较高。三是当前摘录未展示Titan上的数值系数和预测提升幅度，实际收益仍需完整结果表支撑。